Question

在直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），傾斜角α=

π

3

，以該平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），傾斜角α=

π

3

，可得直線l的參數(shù)方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）；圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ．利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐標(biāo)方程．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程可得：t2+(2

3

+1)t+4=0，可得根與系數(shù)的關(guān)系，可得

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1+t2|

|t1•t2|

．

解答： 解：（I）由直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），傾斜角α=

π

3

，
可得直線l的參數(shù)方程

x=2+ 1 2 t y=2+ 3 2 t

（t為參數(shù)）；
圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cosθ，化為ρ²=2ρcosθ．
∴直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程可得：
(2+

1

2

t)2+(2+

3

2

t)2=2(2+

1

2

t)，
化為t2+(2

3

+1)t+4=0，
t₁+t₂=-(2

3

+1)＜0，t₁t₂=4＞0，∴t₁＜0，t₂＜0．
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1+t2|

|t1•t2|

=

2 3 +1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．