證明：
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
n-1
n
（n=2，3，4…）．
考點(diǎn)：反證法與放縮法
專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用
分析：利用
1
n2
＜
1
(n-1)n
=
1
n-1
-
1
n
，
1
n2
＞
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
，即可證明結(jié)論．
解答： 證明：∵
1
n2
＜
1
(n-1)n
=
1
n-1
-
1
n
，
∴
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
=1-
1
n
=
n-1
n
；
∵
1
n2
＞
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
，
∴
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＞
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
…+
1
n
-
1
n+1
=
1
2
-
1
n+1
，
∴
1
2
-
1
n+1
＜
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
＜
n-1
n
（n=2，3，4…）．
點(diǎn)評：本題考查放縮法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用
1
n2
＜
1
(n-1)n
=
1
n-1
-
1
n
，
1
n2
＞
1
(n+1)n
=
1
n
-
1
n+1
，是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

滿足條件{1，2}?A⊆{1，2，3，4}的集合A有
 
個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2），傾斜角α=
π
3
，以該平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長度，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）寫出直線l的參數(shù)方程與圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求
1
|PA|
+
1
|PB|
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=
x
1+|x|
（x∈R），下列說法正確的個(gè)數(shù)有（　　）
①函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
②若x1≠x2，則f（x1）≠f（x2）；
③若規(guī)定f1（x）=f（x），fn（x）=f（fn-1（x）），則fn（x）=
x
1+n|x|
對任意n∈N*恒成立．
A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P在角
4π
3
的終邊上，且|OP|=4，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為 （　�。�
A、(-2，-2
3
)
B、(-
1
2
，-
3
2
)
C、(-2
3
，-2)
D、(-
3
2
，-
1
2
)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

偶函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）=f（x-1），g（x）是奇函數(shù)，且g（3）=1，則f（2014）=（　�。�
A、0B、1C、-1D、2014

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

SC為球O的直徑，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB=2，∠ASC=∠BSC=
π
4
，若棱錐A-SBC的體積為
4
3
3
，則球O的體積為（　　）
A、
4π
3
B、
32π
3
C、27π
D、4
3
π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
2a2
x
+x．（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-2y=0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a＞0，求f（x）的最小值g（a）；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上求證：g（a）≥-e-4．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某程序框圖如圖所示，現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù)，則可以輸出的函數(shù)是（　�。�
A、f（x）=x2+1
B、f（x）=cosx
C、f（x）=ex
D、f（x）=
1
x

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同步練習(xí)冊答案