Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，PA=PD，O為AD邊的中點，點M在線段PC上．
（1）證明：平面POB⊥平面PAD；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{7}$，PB=$\sqrt{13}$，PA∥平面MOB，求四棱錐M-BODC的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理，先證明AD⊥平面POB，即可證明平面POB⊥平面PAD；
（2）根據(jù)四棱錐的體積公式，分別求出底面積和棱錐的高的值進行求解即可．

解答 （1）證明：連接BD，因為底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，
所以△ABD是正三角形，…（1分）
因為O為AD邊的中點，PA=PD，
所以AD⊥PO，AD⊥BO，PO∩BO=O，
所以AD⊥平面POB，…（3分）
因為AD?平面PAD，
所以平面POB⊥平面PAD．  …（5分）
（2）連接AC，交OB于點N，連接MN，
因為PA∥平面MOB，所以PA∥MN，…（6分）
易知點N為ABD的重心，所以$AN=\frac{1}{3}AC$，
故$PM=\frac{1}{3}PC$，…（7分）
因為$AB=2\sqrt{3}$，$PA=PD=\sqrt{7}$，所以O(shè)B=3，OP=2，因為$PB=\sqrt{13}$，
所以∠POB=90°，即OP⊥OB，且AD⊥PO，
所以O(shè)P⊥平面BODC，…（8分）
由$PM=\frac{1}{3}PC$知$CM=\frac{2}{3}CP$，
故點M到平面BODC的距離為$\frac{2}{3}PO=\frac{4}{3}$，…（9分）
因為${S_{BODC}}=\frac{3}{4}{S_{ABCD}}=\frac{3}{4}×2×\frac{1}{2}×{（2\sqrt{3}）^2}×sin{60°}$=$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$，…（10分）
所以四棱錐M-BODC的體積為$\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}×\frac{4}{3}=2\sqrt{3}$．    …（12分）

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及四棱錐的體積的計算，根據(jù)面面垂直的判定定理先證明線面垂直是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．