Question

已知函數(shù)f（x）=（log₄x）²-

5

2

log4x+1．
（1）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求該函數(shù)的值域；
（2）若f（x）≥mlog₄x對于x∈[4，16]恒成立，求m有取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=log₄x，可得t∈[

1

2

，1]，函數(shù)f（x）=g（t）=(t-

5

4

)2-

9

16

，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最值，可得函數(shù)的值域．
（2）由題意可得x∈[4，16]時(shí)，m≤

f(x)

log4x

=

t2- 5t 2 +1

t

=t-

5

2

+

1

t

，t∈[1，2]．利用基本不等式可得 t+

1

t

-

5

2

的最小值，可得 m的范圍．

解答： 解：（1）令t=log₄x，∵x∈[2，4]，∴l(xiāng)og₄x∈[

1

2

，1]．
函數(shù)f（x）=g（t）=t²-

5

2

t+1=(t-

5

4

)2-

9

16

，故當(dāng) t=

5

4

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值為-

9

16

，
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最大值為 0，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

9

16

，0]．
（2）∵f（x）≥mlog₄x對于x∈[4，16]恒成立，log₄x∈[1，2]，
故有 x∈[4，16]時(shí)，m≤

f(x)

log4x

 恒成立．
結(jié)合（1）可得，m≤

t2- 5t 2 +1

t

=t-

5

2

+

1

t

，t∈[1，2]．
利用基本不等式可得 t+

1

t

-

5

2

≥2-

5

2

=-

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)，取等號(hào)，
即t+

1

t

-

5

2

的最小值為-

1

2

，∴m≤-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．