Question

20．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|-a，若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍是（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 討論a的取值：a＜2，2≤a≤3，a＞3，三種情況，求出每種情況下的f（x）的最小值，讓最小值大于等于0從而求出a的取值范圍．

解答 解：f（x）=x|x-a|-a；
∴①若a＜2，則x=2時，f（x）在[2，3]上取得最小值f（2）=2（2-a）-a=4-3a；
∴4-3a≥0，a≤$\frac{4}{3}$；
∴a≤$\frac{4}{3}$；
②若2≤a≤3，則x=a時，f（x）取得最小值f（a）=-a；
-a＜0，不滿足f（x）≥0；
即這種情況不存在；
③若a＞3，則x=3時，f（x）取得最小值f（3）=3（a-3）-a=2a-9；
∴2a-9≥0，a≥$\frac{9}{2}$；
∴a≥$\frac{9}{2}$；
綜上得a的取值范圍為：（-∞，$\frac{4}{3}$]∪[$\frac{9}{2}$，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在原點有定義時f（0）=0，函數(shù)零點的定義，含絕對值函數(shù)求最值的方法：觀察解析式的方法，以及畫出分段函數(shù)的圖象，以及根據(jù)圖象求函數(shù)零點個數(shù)的方法．