Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足$a{\;}_1=-\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{-1}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，點(diǎn)A_i（i，a_i）在x軸上的射影為點(diǎn)B_i（i∈N^*），若S_n=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_iB_i|+…+|A_nB_n|，則S₁₀=11．

Answer 1

分析 利用已知條件求出點(diǎn)A_i（i，a_i）的坐標(biāo)，判斷數(shù)列是周期數(shù)列，然后求解即可．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足$a{\;}_1=-\frac{1}{2}，{a_{n+1}}=\frac{-1}{{{a_n}+1}}（{n∈{N^*}}）$，
可得a₂=-2，a₃=1，a₄=-$\frac{1}{2}$，a₅=-2，a₆=1，…
可知數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，周期為：3，
點(diǎn)A_i（i，a_i）在x軸上的射影為點(diǎn)B_i（i∈N^*），若S_n=|A₁B₁|+|A₂B₂|+…+|A_iB_i|+…+|A_nB_n|，
S₁₀=$（\frac{1}{2}+2+1）×3+\frac{1}{2}$=11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，考查分析問題解決問題的能力．