Question

15．已知函數(shù)f（x）=|log_ax|（a＞0且a≠1），給出下列說法：
①存在a的值，使得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
②當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域上為增函數(shù)；
③當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]的值域?yàn)閇1，2]；
④當(dāng)f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂時(shí)，x₁•x₂=1；
⑤若f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）且x₁＜x₂＜x₃，則0＜x₁＜1；
以上說法中正確的④⑤．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，結(jié)合圖象可直接判斷①②③錯(cuò)誤；由f（x₁）=f（x₂），結(jié)合函數(shù)解析式可得log_ax₁x₂=0，即x₁•x₂=1，④正確；由函數(shù)的單調(diào)性可知⑤正確．

解答 解：分a＞1和0＜a＜1作出f（x）=|log_ax|的圖象如圖：

由圖可知：函數(shù)f（x）=|log_ax|（a＞0且a≠1）不是偶函數(shù)，①錯(cuò)誤；
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，②錯(cuò)誤；
當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{2}$，4]的值域?yàn)閇0，2]，③錯(cuò)誤；
若f（x₁）=f（x₂）且x₁≠x₂，則x₁，x₂必然一個(gè)屬于（0，1），一個(gè)屬于（1，+∞），
不妨設(shè)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），
則當(dāng)a＞1時(shí)，由f（x₁）=f（x₂），得|log_ax₁|=|log_ax₂|，∴-log_ax₁=log_ax₂，log_ax₁x₂=0，x₁•x₂=1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（x₁）=f（x₂），得|log_ax₁|=|log_ax₂|，∴l(xiāng)og_ax₁=-log_ax₂，log_ax₁x₂=0，x₁•x₂=1．④正確；
∵f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴當(dāng)x₁＜x₂＜x₃時(shí)，有f（x₁）＜f（x₂）＜f（x₃），
若f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）且x₁＜x₂＜x₃，∴0＜x₁＜1．⑤正確．
∴正確的命題是④⑤．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．