Question

（2009•荊州模擬）數(shù)列{x_n}滿足x₁=

1

3

，且n≥2時，x_n=

xn-1

2-xn-1

，若對任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，則實數(shù)a的取值范圍是

[

1

3

，+∞)

．

Answer 1

分析：當(dāng)n≥2時，xn=

xn-1

2-xn-1

，兩邊取倒數(shù)得

1

xn

=

2

xn-1

-1，變形為

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出x_n．由對任意n∈N^*，
都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，通過去掉絕對值符號即可得出．

解答：解：當(dāng)n≥2時，xn=

xn-1

2-xn-1

，兩邊取倒數(shù)得

1

xn

=

2

xn-1

-1，變形為

1

xn

-1=2(

1

xn-1

-1)，
∴數(shù)列{

1

xn

-1}是以

1

x1

-1=

1

1 3

-1=3-1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列．
∴

1

xn

-1=2ⁿ，解得xn=

1

2n+1

．可得x_n＞x_n+1．
由對任意n∈N^*，都有|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|＜a成立，?（|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|）_max＜a成立，
而|x₂-x₁|+|x₃-x₂|+…+|x_n+1-x_n|=（x₁-x₂）+（x₂-x₃）+…+（x_n-x_n+1）=x₁-x_n+1=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

．
∴a≥

1

3

．
故實數(shù)a的取值范圍是[

1

3

，+∞)．
故答案為[

1

3

，+∞)．

點評：本題綜合考查了通過“取倒數(shù)法”把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決、含絕對值符號的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求其最值問題等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．