Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+

1

2

x2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式：
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）．
令x=0，得f′（1）=e，即可得到f（x）．
（II）設(shè)g（x）=f′（x）=e^x-1+x，則g′（x）=e^x+1＞0，可得f′（x）在R上單調(diào)遞增．進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（I）f′（x）=f′（1）e^x-1-f（0）+x，
令x=1得f′（1）=f′（1）-f（0）+1，解得f（0）=1．
∴f(x)=f′(1)ex-1-x+

1

2

x2．
令x=0，得f′（1）=e，
∴f(x)=ex-x+

1

2

x2．
（II）設(shè)g（x）=f′（x）=e^x-1+x，
則g′（x）=e^x+1＞0，∴f′（x）在R上單調(diào)遞增．
而f′（0）=0，∴當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0．
因此f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減；在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得到單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．