Question

15．已知直線y=x-1與橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長為$\frac{24}{7}$．

Answer 1

分析 聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式能求出線段AB的長．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得7x²-8x-8=0，
△=64+4×7×8=288＞0，
設(shè)A（x₁，y），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8}{7}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+{1}^{2}）[\frac{64}{49}-4×（-\frac{8}{7}）]^{\;}}$=$\frac{24}{7}$．
故答案為：$\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．