Question

在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=

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DC，E為PD中點．
（Ⅰ）求證：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AE⊥平面PDC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PC的中點M，連接EM，證明AE∥BM，通過AE不在平面PBC內，證明AE∥平面PBC．
（Ⅱ）證明CD⊥BM．推出BM⊥平面PDC，然后證明AE⊥平面PDC．

解答：證明：（Ⅰ）取PC的中點M，連接EM，…（2分）
則EM∥CD，EM=

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DC，所以有EM∥AB且EM=AB，
則四邊形ABME是平行四邊形．所以AE∥BM，
因為AE不在平面PBC內，所以AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）因為AB⊥平面PBC，AB∥CD，所以CD⊥平面PBC，
所以CD⊥BM．
由（Ⅰ）得，BM⊥PC，所以BM⊥平面PDC，
又AE∥BM，所以AE⊥平面PDC…（14分）

點評：本題考查直線與平面的平行，直線與平面垂直，考查判定定理的應用，邏輯推理能力．