Question

設(shè)a∈R，f(x)=-

1

3

x3+ax+(1-a)lnx．
（Ⅰ）若a=0，求f（x）的極大值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y′，再解不等式y(tǒng)′＞0和y′＜0得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而由極值的定義求得函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；
（Ⅱ）先討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的最值，由函數(shù)的最大值大于或等于零（或函數(shù)的最小值小于或等于零）得出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由于a=0，則f（x）=-

1

3

x³+lnx，f′（x）=-x²+

1

x

=

1-x3

x

，
易知x=1是函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+lnx極大值點(diǎn)，
故f（x）的極大值為f（1）=-

1

3

•1³+ln1=-

1

3

；
（Ⅱ）由于f′（x）=-x²+a+

1-a

x

=

(1-x)(x2+x+1-a)

x

（x＞0），
①當(dāng)a≤1時，f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值，也是最大值f（1）=-

1

3

+a
由題設(shè)知函數(shù)y=f（x）的最大值要大于或等于零，即a-

1

3

≥0，可得

1

3

≤a≤1，
故當(dāng)

1

3

≤a≤1時，函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)；
②當(dāng)a＞1時，f（1）=a-

1

3

＞0，f（

3

a）=（1-a）ln（

3

a）＜0，
由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)f（x）在（1，

3

a）內(nèi)必存在零點(diǎn)；
綜上可知，若函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)，a的取值范圍為[

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)工具討論函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)的值域和最值的常用方法，本題可以根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)，來幫助對題意的理解．