Question

已知數(shù)列{a_n}中，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T_n；
（Ⅲ）求證：對任意的m∈（0，

1

6

），均存在n₀∈N₊，使得當(dāng)n＞n₀時，（Ⅱ）中T_n＞m的恒成立．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把數(shù)列遞推式變形得到Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3)，結(jié)合a_n=s_n-s_n-1得到an-an-1=2n-1(n≥2)，由累加法得到數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入bn=

2n-1

anan+1

，化簡后利用裂項相消法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）把要證的T_n＞m轉(zhuǎn)化為n＞log2(

3

1-6m

-1)-1．然后分log2(

3

1-6m

-1)-1＜1和log2(

3

1-6m

-1)-1≥1求解出n₀說明要證的結(jié)論成立．

解答： （Ⅰ）解：由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
得Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3)．
∵a_n=s_n-s_n-1，
∴an=an-1+2n-1(n≥3)，
即an-an-1=2n-1(n≥3)．
又a₂-a₁=5-3=2，
∴an-an-1=2n-1(n≥2)．
a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3+…+2¹+3
=

2(1-2n-1)

1-2

+3=2n+1．
故數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2n+1；
（Ⅱ）解：∵bn=

2n-1

anan+1

=

2n-1

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

9

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

6

-

1

2n+2+2

=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)；
（Ⅲ）證明：由（2）可知Tn=

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＜

1

6

．
若T_n＞m，則得

1

2

(

1

3

-

1

2n+1+1

)＞m，化簡得

1-6m

3

＞

1

2n+1+1

．
∵m∈(0，

1

6

)，
∴1-6m＞0，
∴2n+1＞

3

1-6m

-1，
∴n＞log2(

3

1-6m

-1)-1．
當(dāng)log2(

3

1-6m

-1)-1＜1，即0＜m＜

1

15

時，取n₀=1即可．
當(dāng)log2(

3

1-6m

-1)-1≥1，即

1

15

≤m＜

1

6

時，
則記log2(

3

1-6m

-1)-1的整數(shù)部分為S，取n₀=s+1即可，
綜上可知，對任意的m∈(0，

1

6

)均存在n₀∈N₊使得時（2）中的T_n＞m成立．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式考查了累加法求數(shù)列的通項公式，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．