Question

設函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）若對任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求實數(shù)m的最小值；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不等實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：分類討論,函數(shù)思想,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）利用導數(shù)求出f（x）在[0，1]的最大值f（x）_max，令m≥f（x）_max即可；
（II）由f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個相異實根，化簡并構造函數(shù)g（x），
討論g（x）在[0，2]上的增減性，求出g（x）在[0，2]上的最值，從而求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）設f（x）在[0，1]的最大值為f（x）_max，依題意有f（x）_max≤m，
∴f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

=

2x2+4x

1+x

，
當x∈[0，1]時，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，且f（x）_max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，即實數(shù)m的最小值為4-2ln2；
（II）由f（x）=x²+x+a，得
（1+x）-2ln（1+x）=a在[0，2]上恰有兩個相異實根，
令g（x）=（1+x）-2ln（1+x），則g′（x）=

x-1

x+1

，
當x＞1時，g′（x）＞0，當-1＜x＜1時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上是增函數(shù)，
又∵g（0）=1，g（2）=3-2ln3＜3-2lne=1，∴g（0）＞g（2）；
∴當g（1）＜a≤g（2），即2-2ln2＜a≤3-2ln3時，滿足題意；
即實數(shù)a的取值范圍是（ln

e2

4

，ln

e3

9

]．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用問題，考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性問題，也考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查了構造函數(shù)以及分類討論思想，是難題．