Question

3．已知x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x-3y+2≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$．
（1）設(shè)z=2x+y，求z的取值范圍；
（2）設(shè)m=x²+y²+2x，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案；
（2）直接由m=x²+y²+2x的幾何意義求得m的取值范圍．

解答 解：由約束條件件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x-3y+2≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

A（1，0），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$），
（1）化z=2x+y為y=-2x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=-2x+z過(guò)A（1，0）時(shí)，z有最小值-2，
當(dāng)直線y=-2x+z過(guò)B（$\frac{5}{2}，\frac{3}{2}$）時(shí)，z有最大值$\frac{13}{2}$．
∴z的取值范圍是[-2，$\frac{13}{2}$]；
（2）由m=x²+y²+2x=（x+1）²+y²-1，
可知${m}_{min}={2}^{2}-1=3$，${m}_{max}=（\frac{5}{2}+1）^{2}+（\frac{3}{2}-0）^{2}-1=\frac{27}{2}$．
∴m的取值范圍是[$3，\frac{27}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．