Question

5．設(shè)常數(shù)a＞0，λ∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a）-λ（x+a）³，若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求λ的值．

Answer 1

分析 當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³=-a（4x²+3ax+a²），利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷；當(dāng)λ≠1時(shí)，則必有一個(gè)零點(diǎn)是極值點(diǎn)；設(shè)該零點(diǎn)為x₀，從而f（x₀）=f′（x₀）=0，從而解得x₀，再代入f（x₀）=0即可求出λ．

解答 解：（1）當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=x²（x-a）-（x+a）³
=-a（4x²+3ax+a²）；
∵-a＜0，△=（3a）²-16a²=-7a²＜0，
∴f（x）＜0恒成立；故f（x）沒(méi)有零點(diǎn)；
（2）當(dāng)λ≠1時(shí)，∵函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn)；
則必有一個(gè)零點(diǎn)為f（x）的極值點(diǎn)；
不妨設(shè)該零點(diǎn)為x₀，
則f（x₀）=x₀²（x₀-a）-λ（x₀+a）³=0，
即x₀²（x₀-a）=λ（x₀+a）³，①
又f′（x）=3x²-2ax-3λ（x+a）²
故f′（x₀）=3x₀²-2ax₀-3λ（x₀+a）²=0，②
由①②化簡(jiǎn)可得：x₀=0或x₀=$\frac{a}{2}$；
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x₀=0時(shí)成立，此時(shí)λ=0；
當(dāng)x₀=$\frac{a}{2}$時(shí)也成立，此時(shí)λ=-$\frac{1}{27}$；
故λ=0或λ=-$\frac{1}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，分類討論的思想，函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．