Question

已知函數(shù)．
（I）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（II）當(dāng)時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（II）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù) 的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．
解答：解：（I）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx+x+-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=+1-，因此，f′（2）=1，
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為1，
又f（2）=1n2+2，y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-（ln2+2）=x-2，
所以曲線，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101230801308813829/SYS201311012308013088138021_DA/3.png">，
所以=，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，
此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，由g（x）=0，
即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=-1．
①當(dāng)a=時(shí)，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此時(shí)f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)0＜a＜時(shí)，
x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，-1）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
x∈（-1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
③當(dāng)a＜0時(shí)，由于-1＜0，
x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，∞）時(shí)，g（x）＜0此時(shí)函數(shù)f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a=時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
函數(shù)f（x）在（1，-1）上單調(diào)遞增；
函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞減．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想．