Question

9．（普通中學做）已知雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）以及雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線將第一象限三等分，則C₁，C₂的離心率之積為（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$或4
• C． $\frac{4}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線的方程可得$\frac{a}$=tan30°或$\frac{a}$=tan60°，即為b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，利用c²=a²+b²，將所得等式轉化為關于離心率的方程即可解得離心率，進而得到所求之積．

解答 解：雙曲線C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
雙曲線C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由漸近線將第一象限三等分，可得：
$\frac{a}$=tan30°或$\frac{a}$=tan60°，
即為b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a或c=2a，
即e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2．
則C₁，C₂的離心率之積為$\frac{4}{3}$或4．
故選：B．

點評 本題考查了雙曲線的幾何性質，雙曲線的漸近線方程的運用以及雙曲線離心率的求法，考查運算能力，屬于中檔題．