Question

19．若斜率為k（k≠0）的直線l與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的中垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{81}{2}$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的方程為y=kx+t，代入雙曲線方程，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及判別式大于0，求得垂直平分線方程，可得x，y軸的交點(diǎn)，求得面積，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：設(shè)直線l的方程為y=kx+t，代入雙曲線5x²-4y²=20，
可得（5-4k²）x²-8ktx-4t²-20=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
可得△=64k²t²+4（5-4k²）（4t²+20）＞0，
化為t²+5-4k²＞0，①
且x₁+x₂=$\frac{8kt}{5-4{k}^{2}}$，
即有MN的中點(diǎn)為（$\frac{4kt}{5-4{k}^{2}}$，$\frac{5t}{5-4{k}^{2}}$），
可得線段MN的中垂線方程為y-$\frac{5t}{5-4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4kt}{5-4{k}^{2}}$），
即為y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{9t}{5-4{k}^{2}}$，
可得坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，$\frac{9t}{5-4{k}^{2}}$），（$\frac{9kt}{5-4{k}^{2}}$，0），
即有與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$•$\frac{81|k|{t}^{2}}{（5-4{k}^{2}）^{2}}$=$\frac{81}{2}$，
即有|k|t²=（5-4k²）²，②
將②代入①，可得$\frac{（5-4{k}^{2}）^{2}}{|k|}$+5-4k²＞0，
化為5-4k²＞0或$\left\{\begin{array}{l}{5-4{k}^{2}＜0}\\{5-4{k}^{2}+|k|＜0}\end{array}\right.$，
解得k∈（-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）∪（$\frac{5}{4}$，+∞）∪（-∞，-$\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．