Question

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2DC，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．求證：
（1）DF∥平面ABC；
（2）AF⊥BD．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，由已知條件推導(dǎo)出四邊形CDFG是矩形，由此能證明DF∥平面ABC．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AF⊥BE，CG⊥AB，DF⊥AB，DF⊥FG，從而AF⊥平面BDF，由此能證明AF⊥BD．

解答： 證明：（1）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，得FG∥AE，F(xiàn)G=

1

2

AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=

1

2

AE，
∴FG∥CD，F(xiàn)G=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG?平面ABC，DF不包含于平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F為BE中點(diǎn)，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．