Question

已知曲線C：x²-y|y|=1（|x|≤4）．
（1）畫出曲線C的圖象，
（2）（文）若直線l：y=x+m與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍；
（理）若直線l：y=kx-1與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k的取值范圍；
（3）若P（0，p）（p＞0），Q為曲線C上的點(diǎn)，求|PQ|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）去掉絕對(duì)值，將曲線化為兩段曲線，分別畫出這兩段曲線即可
（2）理，直線y=kx-1過(guò)定點(diǎn)（0，-1），先討論y≤0時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，再討論y＞0時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍，最后將兩個(gè)范圍合并即可
文，直線y=x+m的斜率為1，先討論y≤0時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，再討論y＞0時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍，最后將兩個(gè)范圍合并即可
（3）將|PQ|表示為關(guān)于變量y的函數(shù)，先討論y≤0時(shí)函數(shù)的最小值，再討論y＞0時(shí)函數(shù)的最小值，最后將兩個(gè)結(jié)果比較，取較小的作為|PQ|的最小值即可．
解答：解：（1）當(dāng)y＞0時(shí)，曲線為x²-y²=1
當(dāng)y≤0時(shí)，曲線為x²+y²=1
畫出曲線C的圖象如圖
理（2）若l：y=kx-1與x²+y²=1（y≤0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則k∈[-1，0）∪（0，1]
若l：y=kx-1與x²-y²=1（y＞0）恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線l：y=kx-1與曲線C也有兩個(gè)公共點(diǎn)，
所以由⇒（1-k²）x²+2kx-2=0，
∴|k|＞1，△=4k²+8（1-k²）=8-4k²=0，
解得 ．                      
∴k的取值范圍是{-}∪∈[-1，0）∪（0，1]∪{}

文（2）若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則d=∈[，1]，解得 m∈（-，-1]
若l：y=x+m與x²+y²=1（y≤0）和x²-y²=1（y＞0）各有一個(gè)公共點(diǎn)，
則由圖象知，m∈（-1，0）
∴m的取值范圍是（-，0）

（3）當(dāng)y≤0時(shí)，|PQ|²=x²+（y-p）²=1-2py+p²
由-1≤y≤0得，當(dāng)y=0時(shí)
當(dāng)y＞0時(shí)，|PQ|²=x²+（y-p）²=2y²-2py+p²+1=
當(dāng) 時(shí)
由于
∴|PQ|的最小值是
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓，直線與雙曲線的關(guān)系，解題時(shí)要善于使用數(shù)形結(jié)合的思想方法，善于分類討論，做到不重不漏，運(yùn)算要認(rèn)真準(zhǔn)確，才能順利解題