已知曲線C:x2-y|y|=1(|x|≤4).
(1)畫出曲線C的圖象,
(2)(文)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn),求m的取值范圍;
(理)若直線l:y=kx-1與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn),求k的取值范圍;
(3)若P(0,p)(p>0),Q為曲線C上的點(diǎn),求|PQ|的最小值.
分析:(1)去掉絕對(duì)值,將曲線化為兩段曲線,分別畫出這兩段曲線即可
(2)理,直線y=kx-1過定點(diǎn)(0,-1),先討論y≤0時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍,再討論y>0時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的取值范圍,最后將兩個(gè)范圍合并即可
文,直線y=x+m的斜率為1,先討論y≤0時(shí)有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍,再討論y>0時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)m的取值范圍,最后將兩個(gè)范圍合并即可
(3)將|PQ|表示為關(guān)于變量y的函數(shù),先討論y≤0時(shí)函數(shù)的最小值,再討論y>0時(shí)函數(shù)的最小值,最后將兩個(gè)結(jié)果比較,取較小的作為|PQ|的最小值即可.
解答:解:(1)當(dāng)y>0時(shí),曲線為x2-y2=1
當(dāng)y≤0時(shí),曲線為x2+y2=1
畫出曲線C的圖象如圖
理(2)若l:y=kx-1與x2+y2=1(y≤0)有兩個(gè)公共點(diǎn),
則k∈[-1,0)∪(0,1]
若l:y=kx-1與x2-y2=1(y>0)恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)直線l:y=kx-1與曲線C也有兩個(gè)公共點(diǎn),
所以由
y=kx-1
x2-y2=1(y>0) 
⇒(1-k2)x2+2kx-2=0,
∴|k|>1,△=4k2+8(1-k2)=8-4k2=0,
解得 k=± 
 2 
.                      
∴k的取值范圍是{-
2
}∪∈[-1,0)∪(0,1]∪{
2
}

文(2)若l:y=x+m與x2+y2=1(y≤0)有兩個(gè)公共點(diǎn),
則d=
|m|
2
∈[
2
2
,1],解得 m∈(-
2
,-1]
若l:y=x+m與x2+y2=1(y≤0)和x2-y2=1(y>0)各有一個(gè)公共點(diǎn),
則由圖象知,m∈(-1,0)
∴m的取值范圍是(-
2
,0)

(3)當(dāng)y≤0時(shí),|PQ|2=x2+(y-p)2=1-2py+p2
由-1≤y≤0得,當(dāng)y=0時(shí)| PQ |min=
 1+p2 

當(dāng)y>0時(shí),|PQ|2=x2+(y-p)2=2y2-2py+p2+1=2( y- 
p
2
)
2
+
1
2
p2+1

當(dāng)y=
1
2
p
 時(shí)| PQ |min=
1+
1
2
 p2

由于
 1+p2 
1+
1
2
p2

∴|PQ|的最小值是
1+
1
2
p2
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了直線與圓,直線與雙曲線的關(guān)系,解題時(shí)要善于使用數(shù)形結(jié)合的思想方法,善于分類討論,做到不重不漏,運(yùn)算要認(rèn)真準(zhǔn)確,才能順利解題
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(1)畫出曲線C的圖象,
(2)若直線l:y=x+m與曲線C有兩個(gè)公共點(diǎn),求m的取值范圍;
(3)若過點(diǎn)P(0,2)的直線與曲線C在x軸上方的部分交于不同的兩點(diǎn)M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
的范圍.

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(3)若過點(diǎn)P(0,2)的直線與曲線C在x軸上方的部分交于不同的兩點(diǎn)M,N,求t=
OM
OP
+
OM
PN
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