Question

已知f（x）=，定義f_n（x）=，n∈N^*．
（1）求f₂₀₀₄（）；
（2）設B={x|f₁₅（x）=x，x∈[0，1]}，求證：B中至少含有9個元素．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意得，分別計算函數(shù)的值得f_n（）是以5為周期變化的，從而得到f₂₀₀₄（）=f₄（）=．
（2）設A={，，，，}，由（1）知，對于a∈A，有f₅（）=a，故f₁₅（a）=a從而A⊆B，畫出f（x）的圖象，如圖，由x=2（1-x），（＜x≤1），得x=，從而證證得C?B，從而得出{，，，，，，0，，1}⊆B，即可證得結論．
解答：解：（1）根據(jù)題意得，
f₁（x）==，
f₂（）=f_n（）=2（1-）=，
f₃（）=f_n（）=2（1-）=，
f₄（）=f_n（）=2（1-）=，
f₅（）=f_n（）=2（1-）=，
所以f_n（）是以5為周期變化的，
從而f₂₀₀₄（）=f₄（）=．

（2）設A={，，，，}，
由（1）知，對于a∈A，有f₅（）=a，故f₁₅（a）=a，
∴A⊆B，
畫出f（x）的圖象，如圖，
由x=2（1-x），（＜x≤1），得x=，故f（）=，∴f₁₅（）=，
∴∈B，設C={0，，1}，
由f（0）=，f（）=1，f（1）=0知，
對于c∈C，有f₃（c）=c，∴f₅（c）=c，∴C⊆B，
綜上所述，{，，，，，，0，，1}⊆B，
故B中至少含有9個元素．
點評：本小題主要考查函數(shù)的周期性、分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、集合之間的關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．