Question

已知A、B兩地相距200km，一只船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（8＜v≤v₀），其中v₀為給定的大于12km/h的常數(shù)．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，當v=12km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的實際速度應為多少？（全程燃料費=每小時的燃料費×實際行駛的時間）

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：設出正比例函數(shù)L=kv²，代入v=12，L=720，求出k，即可得到L與v的關系式；確定函數(shù)解析式，利用單調(diào)求最值，從而可得結論．

解答： 解：設每小時的燃料費為y₁，比例系數(shù)為k（k＞0），則y1=kv21分
當v=12時，y₁=720，∴720=k•12²，得k=5                                             3分
設全程燃料費為y，
依題意有y=y1•

200

v-8

=

1000v2

v-8

=1000(v+8+

64

v-8

)=1000(v-8+

64

v-8

+16)≥320006分
當v-8=

64

v-8

，即v=16時取等號，
∵8＜v≤v₀
∴當v_°≥16時，v=16時全程燃料費最省．                       9分
當v_°＜16時，令t=v-8+

64

v-8

任取8＜v₁＜v₂≤v₀，則0＜v₁-8＜8，0＜v₂＜8，
∴1-

64

(v1-8)(v2-8)

＜0，
∴t1-t2=(v1-v2)(1-

64

(v1-8)(v2-8)

)＞0
即t=v-8+

64

v-8

在（8，v_°]上為減函數(shù)，當v=v₀時，y取最小值

1000 v 2 °

v°-8

13分
綜合得：當v_°≥16時，v=16km/h，實際船速為8km/h，全程燃料費最省，為32000元，當v_°＜16時，當v=v₀，實際船速為（v₀-8）km/h時，全程燃料費最省，為

1000 v 2 °

v°-8

元.14分．

點評：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．