Question

若關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=-x²+bx+c對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有：f（2+x）=f（2-x）恒成立．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，判斷f（

5

4

）與f（-a²-a+1）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意求得函數(shù)f（x）在（-∞，2）上是減函數(shù)，再根據(jù)-a²-a+1=-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

，可得f（

5

4

）＜f（-a²-a+1）．

解答： 解：（1）關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=-x²+bx+c對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有：f（2+x）=f（2-x）恒成立，
故二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x=2=

b

2

，
∴b=4，
（2）由（1）知f（x）=-x²+4x+c，顯然函數(shù)在（-∞，2）上是減函數(shù)．
由于-a²-a+1═-(a+

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

，
∴f（

5

4

）＜f（-a²-a+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．