15.如圖所示,已知F1,F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1({a>0,b>0})$的兩個(gè)焦點(diǎn),且|F1F2|=2,若以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心,|F1F2|為直徑的圓與該雙曲線(xiàn)的左支相交于A(yíng),B兩點(diǎn),且△F2AB為正三角形,則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為$\sqrt{3}$-1.

分析 根據(jù)△F2AB是等邊三角形,判斷出∠AF2F1=30°,進(jìn)而在RT△AF1F2中求得|AF1|,|AF2|,進(jìn)而根據(jù)雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)求得a可得.

解答 解:∵△F2AB是等邊三角形,
∴∠AF2F1=30°,
∵|F1F2|=2,∴|AF1|=1,|AF2|=$\sqrt{3}$,
∴a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$,
∴2a=$\sqrt{3}$-1.
故答案為:$\sqrt{3}$-1.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì).考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和數(shù)形結(jié)合的思想的運(yùn)用.屬基礎(chǔ)題.

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5.已知f(x)=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$.
(1)求f(x)單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:$\frac{ln2}{{2}^{2}}$+$\frac{ln3}{{3}^{2}}$+…+$\frac{lnn}{{n}^{2}}$<$\frac{n-1}{2e}$(n≥2,n∈N+).

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6.以雙曲線(xiàn)C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}$=1(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)F為圓心的圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相切,則該圓的面積為(  )
A.πB.C.D.

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3.若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值是4.

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10.以?huà)佄锞(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F為圓心,與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=4.

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20.已知函數(shù)f(x)=x2+m,其中m∈R.定義數(shù)列{an}如下:a1=0,an+1=f(an),n∈N*
(1)當(dāng)m=1時(shí),求a2,a3,a4的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,使a2,a3,a4構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)$m>\frac{1}{4}$時(shí),總能找到k∈N*,使得ak>2015.

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7.已知函數(shù)f(x)=x(1+a|x|),若關(guān)x的小等式f(x+a)<f(x)的解集A?[-1,$\frac{1}{2}$],則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1-$\sqrt{2}$,0).

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4.如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,PA=AB,E,F(xiàn)分別為BC,PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AE⊥PD;
(Ⅱ)求二面角E-AF-C的余弦值.

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5.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比是2:$\sqrt{2}$,且過(guò)點(diǎn)($\sqrt{5}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在動(dòng)點(diǎn)M,使過(guò)點(diǎn)M并與直線(xiàn)OM垂直的直線(xiàn)l與橢圓C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且|OM|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為定值,當(dāng)向量$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$時(shí),若存在這樣的動(dòng)點(diǎn),求出定值|OM|;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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