Question

7．已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|），若關(guān)x的小等式f（x+a）＜f（x）的解集A?[-1，$\frac{1}{2}$]，則實數(shù)a的取值范圍是（1-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 由題意可得，在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，數(shù)形結(jié)合、分類討論求得a的范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）=$\left\{\begin{array}{l}{{ax}^{2}+x，x≥0}\\{{-ax}^{2}+x，x＜0}\end{array}\right.$是奇函數(shù)，
關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集 A?[-1，$\frac{1}{2}$]，
則在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象應(yīng)在函數(shù)y=f（x）
的圖象的下方．
當(dāng)a=0時，顯然不滿足條件．
當(dāng)a＞0時，如右圖所示，函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，
f（x+a）的圖象是把f（x）的圖象向左平移a個單位得到的，
不滿足在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象在
函數(shù)y=f（x）的圖象下方．
當(dāng)a＜0時，f（x）在（$\frac{1}{2a}$，-$\frac{1}{2a}$]上增函數(shù)，在（-$\frac{1}{2a}$，+∞）、（-∞，$\frac{1}{2a}$）上是減函數(shù)，
要使在[-1，$\frac{1}{2}$]上，函數(shù)y=f（x+a）的圖象在函數(shù)y=f（x）的圖象的下方，
如下圖所示：
只要f（-1+a）＜f（-1）即可，即-a${（-\frac{1}{2}+a）}^{2}$+（-$\frac{1}{2}$+a）＜-a${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-$\frac{1}{2}$，
化簡可得 a²-2a-1＜0，解得 1-$\sqrt{2}$＜a＜0，
故答案為：（1-$\sqrt{2}$，0）．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．