Question

已知函數(shù)f﹙x﹚=﹙1+x﹚e^-2x，當x∈[0，1]時，求證：1-x≤f﹙x﹚≤

1

x+1

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：當x∈[0，1）時，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，則h′（x）=x（e^x-e^-x），由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明f（x）≥1-x；當x∈[0，1）時，f（x）≤

1

x+1

，e^x≥1+x，令u（x）=e^x-1-x，則u′（x）=e^x-1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能證明f（x）≤

1

x+1

．

解答： 證明：①當x∈[0，1）時，（1+x）e^-2x≥1-x?（1+x）e^-x≥（1-x）e^x，
令h（x）=（1+x）e^-x-（1-x）e^x，則h′（x）=x（e^x-e^-x）．
當x∈[0，1）時，h′（x）≥0，
∴h（x）在[0，1）上是增函數(shù)，
∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．
②當x∈[0，1）時，f（x）≤

1

x+1

，e^x≥1+x，
令u（x）=e^x-1-x，則u′（x）=e^x-1．
當x∈[0，1）時，u′（x）≥0，
∴u（x）在[0，1）單調(diào)遞增，∴u（x）≥u（0）=0，
∴f（x）≤

1

x+1

．
綜上可知：1-x≤f（x）≤

1

1+x

．

點評：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．