已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上一點M(
2
6
3
，
3
3
)滿足
MF1
•
MF2
=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線L：y=kx+
2
與橢圓恒有不同交點A、B，且
OA
•
OB
＞1（O為坐標原點），求k的范圍．
分析：（1）由題意得：c=
3
，a=2，b=1．從而寫出橢圓方程即可；
（2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量的數(shù)量積坐標公式即可求得k的范圍，從而解決問題．
解答：解：（1）由題意得：
c=
3
，a=2，
∴b=1．
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1
（2）由
x2
4
+y2=1
y=kx+
2
，
消去y解得(
1
4
+k2)x2+2
2
kx+1=0
設A（x1，y1），B（x2，y2）
則
OA
•
OB
=x1x2+y1y2
=(1+k2)x1x2+
2
k(x1+x2)+2=
6-4k2
1+4k2
＞1，
∴k∈(
10
4
，-
1
2
)∪(
1
2
，
10
4
)．
點評：本小題主要考查橢圓的應用、向量的數(shù)量積的應用、不等式的解法等基礎知識，解答的關鍵在于學生的運算求解能力，數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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