【題目】在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形為邊長為2的菱形， 為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且， ， .

（1）若， 分別為， 的中點，求證： 平面；

（2）若， 與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面 ,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系，求出二面角的余弦值.

試題解析：

（1）連接,因為四邊形為菱形，所以.

因為平面平面，平面平面， 平面， ，所以平面.

又平面，所以.

因為，所以.

因為，所以平面.

因為分別為， 的中點，所以，所以平面

（2）設(shè)，由（1）得平面.

由， ，得， .

過點作，與的延長線交于點，取的中點，連接， ，如圖所示，

又，所以為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面， 平面，故平面.

因為為平行四邊形，所以，所以平面.

又因為，所以平面.

因為，所以平面平面.

由（1），得平面，所以平面，所以.

因為，所以平面，所以是與平面所成角.

因為， ，所以平面， 平面，因為，所以平面平面.

所以， ，解得.

在梯形中，易證，分別以， ， 的正方向為軸， 軸， 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， ， ，

由，及，得，所以， ， .

設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得m=(3,1,2)

設(shè)平面的一個法向量為，由得令，得.

所以

又因為二面角是鈍角，所以二面角的余弦值是.

練習(xí)冊系列答案
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C.2011年至2015年農(nóng)村居民人均生活消費支出增長最快

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平均每天鍛煉的時間/分鐘

總?cè)藬?shù)

20

36

44

50

40

10

將學(xué)生日均體育鍛煉時間在的學(xué)生評價為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.

（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表；

鍛煉不達(dá)標(biāo)

鍛煉達(dá)標(biāo)

合計

男

女

20

110

合計

并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

（2）在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進(jìn)行體育鍛煉體會交流，從參加體會交流的5人中，隨機選出2人作重點發(fā)言，求恰好選出一名男生的概率.

參考公式：，其中

臨界值表

0.10

0.05

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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