Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實數(shù)a的值；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，求證．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而利用兩直線的垂直關(guān)系建立參數(shù)所滿足的方程進行求解；

（2）將函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的符號不變性進而分離參數(shù)，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問題，再利用導(dǎo)數(shù)求解最值，從而求得實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，即，令，討論的單調(diào)性，得，令，，

設(shè)，，求的單調(diào)性，得，即，結(jié)合的單調(diào)性即可證得結(jié)論.

（1）依題意知的定義域為，

求導(dǎo)得，

根據(jù)題意的斜率為，

所以在處的切線斜率為3，

即，.

（2）令，

依題意有對恒成立，即恒成立，

，

單調(diào)遞減，，

實數(shù)a的取值范圍為.

（3）當時，若方程有兩個相異實根，，，

即，

又令，，

在上遞減，遞增，則，，且，

又，故，，，，

，

設(shè)，，，

在遞增，，

，又在上遞減，

，即.