Question

20．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=1，且$\frac{1}{a_2}$，$\frac{1}{a_4}$，$\frac{1}{a_8}$成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$}的前n項和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知列出關于工程師了公差方程求出公差；得到通項公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，將通項公式代入，利用裂項求和證明即可．

解答 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d．
因為$\frac{1}{a_2}，\frac{1}{a_4}，\frac{1}{a_8}$成等比數(shù)列，所以${（\frac{1}{a_4}）^2}=\frac{1}{a_2}•\frac{1}{a_8}$．
即${（\frac{1}{{{a_1}+3d}}）^2}=\frac{1}{{{a_1}+d}}•\frac{1}{{{a_1}+7d}}$．
化簡得${（{a_1}+3d）^2}=（{a_1}+d）•（{a_1}+7d）$，即d²=a₁d．
又a₁=1，且d≠0，解得d=1．
所以有a_n=a₁+（n-1）d=n．                    …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n•（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
所以${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．
因此，T_n＜1．                                  …（13分）

點評 本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列性質、通項公式求法以及裂項求和的方法；求出通項公式正確裂項求和是關鍵．