Question

7．已知a，b，c 分別是銳角△ABC三個內角A，B，C的對邊，且（sin A+sin B）（a-b）=（sin C-sin B ）c，且b+c=8．
（Ⅰ）求A的值； 
（Ⅱ） 求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理由已知可求b²+c²-a²=bc，進而根據(jù)余弦定理即可得出cosA的值，結合A為銳角，即可得解A的值．
（II）利用已知及基本不等式可求bc的最大值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵（sin A+sin B）（a-b）=（sin C-sin B ）c，
由正弦定理有（a+b）（a-b）=（c-b）c，即有b²+c²-a²=bc，…（3分）
由余弦定理得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
又∵A為銳角，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）∵b+c=8，可得：b²+c²+2bc=64，
∴2bc+2bc=4bc≤64，可得：bc≤16，（當且僅當b=c時等號成立）
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×16×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$（當且僅當b=c時等號成立），
即△ABC面積的最大值為4$\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．