Question

11．若函數(shù)f（x）=（x²-x-2）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則f（x）的最小值是0．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)稱性求出a，b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=（x²-x-2）（x²+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（0）=f（2），f（-1）=f（3），
即-2b=0，0=4•（9+3a+b），求得b=0，a=-3，
∴f（x）=（x²-x-2）（x²-3x）=x⁴-4x³+x²-6x，
∴f′（x）=4x³-12x²+2x-6=4x²（x-3）+2（x-3）=（x-3）•（4x²+2）．
顯然，在（-∞，3）上，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
在（3，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y取得最小值為0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的區(qū)間，根據(jù)對(duì)稱性求出a，b的值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值求法等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．