Question

1．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與直線y=x+3只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則橢圓C的方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$
• B． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$

Answer 1

分析 將直線方程代入橢圓方程，由△=0，求得a²+b²=9，由題意的離心率公式，求得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程．

解答 解：由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得：（a²+b²）x²+6a²x+9a²-a²b²=0，
則△=0，則36a⁴-4（a²+b²）（9a²-a²b²）=0，整理得：a²+b²=9，①
由題意的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{5}$，②
由①②，解得：a²=5，b²=4，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．