Question

9．已知平面向量$\overrightarrow{a}$=（1，x），$\overrightarrow$=（2x+3，-x）（x∈R）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為銳角，求x的取值范圍．
（3）若|$\overrightarrow a}$|=2，求與${\overrightarrow a}$垂直的單位向量$\overrightarrow c$的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量平面列方程解出x，求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標(biāo)即可得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|；
（2）令cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞＞0，解出x，再去掉$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$共線的情況即可；
（3）根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=2計(jì)算x，設(shè)$\overrightarrow{c}$=（m，n），列方程組解出即可．

解答 解：（1）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，則-x-（2x+3）x=0，解得x=0或x=-2，
當(dāng)x=0時(shí)，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（-2，0），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2，
當(dāng)x=-2時(shí)，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$=（2，-4），∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=2$\sqrt{5}$．
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞0，即2x+3-x²＞0，∴-1＜x＜3，
由（1）可知當(dāng)x=0時(shí)，$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，此時(shí)$\overrightarrow=3\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為0，不符合題意，舍去，
∴x的取值范圍是（-1，0）∪（0，3）．
（3）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，∴1+x²=4，解得x=±$\sqrt{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{c}$=（m，n），則m+nx=0，且m²+n²=1，
∴當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m+\sqrt{3}n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
當(dāng)x=-$\sqrt{3}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{m-\sqrt{3}n=0}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{n=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以當(dāng)x=$\sqrt{3}$時(shí)，$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
當(dāng)x=-$\sqrt{3}$時(shí)，$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題．