Question

已知a是實(shí)數(shù)，三條直線2x-y+5=0，x-y+a+4=0，x+a=0中任意兩條的交點(diǎn)均不在橢圓x²+2y²=11上，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先通過(guò)聯(lián)立任兩個(gè)方程得到的方程組的解，找到任意兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)任意兩條直線的交點(diǎn)均不在橢圓x²+2y²=11上，則每個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，均不成立，求出a的范圍．

解答：解：前兩條直線的交點(diǎn)即方程組

2x-y-5=0 x-y-a-4=0

的解，此時(shí)（x，y）=（1-a，-2a-3）
該點(diǎn)不在橢圓x²+2y²=11上，當(dāng)且僅當(dāng)（1-a）²+2（-2a-3）²≠11
解得，a≠-2，a≠-

4

9

第一條與第三條直線的交點(diǎn)即方程組

2x-y+5=0 x+a=0

的解，此時(shí)（x，y）=（-a，5-2a）
該點(diǎn)不在橢圓x²+2y²=11上，當(dāng)且僅當(dāng)（-a）²+2（5-2a）²≠11
解得，a≠3，切a≠

13

9

后兩條直線的交點(diǎn)即方程組

x-y+a+4=0 x+a=0

的解，此時(shí)（x，y）=（-a，4），該點(diǎn)不在橢圓x²+2y²=11上，
當(dāng)且僅當(dāng)（-a）²+2×4²≠11，該不等式恒成立
綜上，a的范圍為（-∞，-2）∪（-2，-

4

9

）∪（-

4

9

，

13

9

）∪（

13

9

，3）∪（3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線交點(diǎn)的計(jì)算，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，屬于直線方程與圓錐曲線的綜合題．