Question

已知f（x）=x-sinx，{a_n}滿足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…
證明：
（1）0＜a_n＜1；
（2）a_n+1＜a_n；
（3）a_n+1＜

1

6

a_n³．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,三角函數(shù)的求值

分析：（1）直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1；
（2）直接作差后結(jié)合0＜a_n＜1得答案；
（3）構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1，求導(dǎo)后得到函數(shù)為增函數(shù)，由函數(shù)為增函數(shù)得答案．

解答： 證明：（1）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜a_n＜1，n=1，2，3，…
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知顯然結(jié)論成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即0＜a_k＜1，
∵0＜x＜1時(shí)，f′（x）=1-cosx＞0，
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
又f（x）在[0，1]上連續(xù)，
從而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故n=k+1時(shí)，結(jié)論成立；
由（i）、（ii）可知，0＜a_k＜1對(duì)一切正整數(shù)都成立；
（2）又∵0＜a_k＜1時(shí)，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，
∴a_n+1＜a_n；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1，
由（1）知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，sinx＜x，
從而g′(x)=cosx-1+

x2

2

=-2sin2

x

2

+

x2

2

＞-2(

x

2

)2+

x2

2

=0，
∴g（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
又g（x）在[0，1]上連續(xù)，且g（0）=0，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0成立，
于是g（a_n）＞0，即sinan-an+

1

6

an3＞0，
故an+1＜

1

6

an3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了歸納法證明數(shù)列不等式，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)的有界性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．