Question

20．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，令b_n=|a_n|，數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項的和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，即a_n+1-a_n=4，利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得：a_n．S_n．由a_n≥0，解得n≥16．當n≤16時，a_n＜0，b_n=|a_n|=-a_n．因此T_n=-S_n．當n≥17時，T_n=-（a₁+a₂+…+a₁₆）+a₁₇+…+a_n=-2S₁₆+S_n．

解答 解：∵a₁=-60，a_n+1=a_n+4，n∈N^*，即a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為-60，公差為4．
∴a_n=-60+4（n-1）=4n-64．
S_n=$\frac{n（-60+4n-64）}{2}$=2n²-62n．
由a_n≥0，解得n≥16．
∴當n≤16時，a_n＜0，b_n=|a_n|=-a_n．
T_n=-（a₁+a₂+…+a_n）=-S_n=-2n²+62n．
當n≥17時，T_n=-（a₁+a₂+…+a₁₆）+a₁₇+…+a_n
=-2S₁₆+S_n
=2n²-62n+960．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+62n，n≤16}\\{2{n}^{2}-62n+960，n≥17}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、含絕對值數(shù)列求和問題，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．