Question

10．已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B₁、B₂
（1）若△F₁B₁B₂為等邊三角形，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且l的斜率為1，求|PQ|的長．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的幾何性質(zhì)得出a，b，c之間的關(guān)系解出a，b，c即可；
（2）聯(lián)立直線方程與橢圓方程得出P，Q坐標(biāo)的關(guān)系，代入弦長公式計(jì)算．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0）．
∵橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
∴c=$\sqrt{3}$，
由橢圓的定義得B₁F₁=a，B₁B₂=2b，
∵△F₁B₁B₂為等邊三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{{a}^{2}-^{2}=3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）直線l的方程為y=x-$\sqrt{3}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}$x+8=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{5}$，x₁x₂=$\frac{8}{5}$．
∴|PQ|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{192}{25}-\frac{32}{5}}$=$\frac{8}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．