如圖，四棱錐的底面是正方形，平面．，，是上的點．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）見解析   （Ⅱ）
（Ⅰ）證明：連結(jié)．


因為底面是正方形，
所以．
因為平面，平面，
所以．……………………………………………………………………3分
又因為，
所以平面．……………………5分
因為平面，
所以．…………………………7分
（Ⅱ）因為平面，
所以．
因為底面是正方形，
所以．
又因為，
所以平面，所以．…………………………………………10分
過點在平面內(nèi)作于，連結(jié)．
由于，
所以平面．
所以．
故是二面角的平面角．………………………………………12分
在中，，，可求得．
在中，，，可求得．
所以．
即二面角的余弦值為．…………………………………………14分
解法（二）（Ⅰ）如圖以為原點建立空間直角坐標系．
則，，，，，，
，
．…………………3分
．
所以．即．…………………………………………………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
設(shè)平面的法向量為，則由
，，得
 即
取，得．……………………………………………………………11分
易知平面的一個法向量為．
設(shè)二面角的平面角為．
則．
即二面角的余弦值為．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）設(shè)線段的中點為，在直線上是否存在一點，使得？若存在，請指出點的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求二面角的大小。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，, 點是的中點，，且交于點 .
（I）求證：平面；
（II）求二面角的余弦值大�。�
（III）求證：平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（12分）如圖，在梯形中，是的中點，將沿折起，使點到點的位置，使二面角的大小為
（1）求證：；
（2）求直線與平面所成角的正弦值

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PC⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為AB中點，
AC=BC=PC=2．
(Ⅰ)求證：AB⊥平面PCD；
(Ⅱ)求異面直線PD與BC所成角的大��；
(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點，且AP=4AM，求點A到平面BCM的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知長方體
直線與平面所成的角為，垂直于
，為的中點.
（1）求異面直線與所成的角；
（2）求平面與平面所成的二面角；
（3）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AC⊥DB，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD.
（Ⅰ）求異面直線PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P—AB—C的大�。�
（Ⅲ）設(shè)點M在棱PC上，且，問為何值時，PC⊥平面BMD.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐中，底面，正方形的邊長為2
（1）求點到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的大小；
（3）求以與為半平面的二面角的正切值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在正四棱錐中，,點在棱上。
（Ⅰ）問點在何處時，，并加以證明；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

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