Question

如圖，一個(gè)幾何體是由圓柱OO′和三棱錐E-ABC組合而成，點(diǎn)A、B、C在圓O的圓周上，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2

（Ⅰ）求證：AC⊥BD；
（Ⅱ）求O′到平面ABD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知中EA⊥平面ABC，由線面垂直的性質(zhì)可得ED⊥AC，結(jié)合AC⊥AB，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面EBD，再由線面垂直的性質(zhì)得到AC⊥BD．
（Ⅱ）設(shè)圓O的半徑為r，圓柱高為h，由已知條件解得

r=2 h=2

，以D為原點(diǎn)，以DD₁為x軸，以過(guò)點(diǎn)D在⊙O′所在平面內(nèi)垂直于DD₁的直線為y軸，利用向量法能求出O′到平面ABD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴EA⊥AC，即ED⊥AC．
又∵AC⊥AB，AB∩ED=A，
∴AC⊥平面EBD．
∵BD?平面EBD，∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：∵A、B、C在圓O的圓周上，且AB⊥AC，
∴BC是圓O的直徑，
設(shè)圓O的半徑為r，圓柱高為h，
∵正（主）視圖、側(cè)（左）視圖的面積分別為10和12，
A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2，
∴

2rh+ 1 2 r×2=10 2rh+ 1 2 ×2r+2=12

，解得

r=2 h=2

，
以D為原點(diǎn)，以DD₁為x軸，以過(guò)點(diǎn)D在⊙O′所在平面內(nèi)垂直于DD₁的直線為y軸，
以DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由（1）知，AC⊥BD，又因?yàn)锳C⊥AB，AB∩BD=B，
∴AC⊥平面ABD．
∵A（0，0，2），C（2，-2，2），O′（2，0，0），

AC

=(2，-2，0)是平面ABD的一個(gè)法向量，

AO′

=(2，0，-2)，
∴O′到平面ABD的距離d=

| AO′ • n |

| n |

=

|4|

2 2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由幾何體的結(jié)構(gòu)特征得到線線垂直，進(jìn)而建立空間坐標(biāo)系，利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離．