Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-（$\frac{2}{3}$cosx-a）sinx，a∈R．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在R上恒成立，即-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx+$\frac{5}{3}$≥0在R上恒成立，令cosx=t（-1≤t≤1），可得4t²-3at-5≤0在-1≤t≤1上恒成立，可令g（t）=4t²-3at-5，由g（-1）≤0且g（1）≤0，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x-（$\frac{2}{3}$cosx-a）sinx的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=1-cosx（$\frac{2}{3}$cosx-a）-sinx（-$\frac{2}{3}$sinx）=1-$\frac{2}{3}$cos²x+$\frac{2}{3}$sin²x+acosx，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，f（$\frac{π}{2}$））處的切線斜率為1-0+$\frac{2}{3}$+0=$\frac{5}{3}$，
切點(diǎn)為（$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$+a），
可得切線的方程為y-$\frac{π}{2}$-a=$\frac{5}{3}$（x-$\frac{π}{2}$），
即為5x-3y+3a-π=0；
（2）函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
可得f′（x）≥0在R上恒成立，
即-$\frac{4}{3}$cos²x+acosx+$\frac{5}{3}$≥0在R上恒成立，
令cosx=t（-1≤t≤1），可得4t²-3at-5≤0在-1≤t≤1上恒成立，
可令g（t）=4t²-3at-5，
可得g（-1）=4+3a-5≤0且g（1）=4-3a-5≤0，
解得-$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
即有a的取值范圍是[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)性，考查不等式恒成立思想的運(yùn)用，以及二次不等式恒成立的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．