Question

已知點(diǎn)A（2，2），直線(xiàn)l：y=2x+1．
（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B，C分別在x軸和直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△ABC周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程

專(zhuān)題：直線(xiàn)與圓

分析：：（1）設(shè)A′（a，b），則由點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，利用垂直、和中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上這兩個(gè)條件求得a、b的值，可得A′的坐標(biāo)．
（2）由于點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₂（2，-2），由線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的性質(zhì)可得|A′A₂|即為△ABC的周長(zhǎng)的最小值，計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）設(shè)A′（a，b），則由點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，
可得

b+2 2 =2× a+2 2 +1 b-2 a-2 ×2=-1

，解得

a=- 2 5 b= 16 5

，
故A′的坐標(biāo)為（-

2

5

，

16

5

）．
（2）由于點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A₂（2，-2），
|A′A₂|=

(- 2 5 -2)2+( 16 5 +2)2

=

2 205

5

，
∴△ABC的周長(zhǎng)的最小值為

2 205

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，利用了垂直、和中點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上這兩個(gè)條件，以及線(xiàn)段的中垂線(xiàn)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．