Question

下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又是區(qū)間[-1，0]上的減函數(shù)的是（　�。�

• A、y=cosx
• B、y=-|x-1|
• C、y=ln

  2-x

  2+x

• D、y=e^x+e^-x

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)余弦函數(shù)在[-

π

2

，0]上的單調(diào)性，偶函數(shù)的定義，以及通過求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法即可找出正確選項．

解答： 解：A．y=cosx，由圖象可知該函數(shù)在[-1，0]上是增函數(shù)，所以該選項錯誤；
B．y=-|x-1|，令y=f（x），f（-x）=-|-x-1|=-|x+1|≠f（x），所以該函數(shù)不是偶函數(shù)，所以該選項錯誤；
C.y=ln

2-x

2+x

，令y=f（x），f（-x）=ln

2+x

2-x

=-ln

2-x

2+x

=-f(x)，所以該函數(shù)不是偶函數(shù)，所以該選項錯誤；
D．y=e^x+e^-x，令y=f（x），該函數(shù)定義域為R，f（-x）=e^-x+e^x=f（x），所以該函數(shù)是偶函數(shù)；y′=e^x-e^-x，∵x∈[-1，0]，∴x≤-x，e^x≤e^-x，∴y′＜0，∴該函數(shù)在[-1，0]上是減函數(shù)，∴該選項正確．
故選D．

點評：考查余弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性，偶函數(shù)的定義及判定方法，以及根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．