Question

口袋內(nèi)裝有編號為1、2、3的三個白球和編號為A的一個黑球，所有球的大小、質(zhì)地和重量都相同，每次摸1個球并記錄結(jié)果并將球放回口袋中，若第k次摸球恰好得到編號為k的球，就稱之為1次巧合．
（1）求3次摸球中至多摸得1次黑球的概率．
（2）設(shè)3次摸球并記錄結(jié)果后，將巧合總次數(shù)表示為ξ，求ξ的分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）3次摸球中至多摸得1次黑球，包括摸得1次或0次黑球，由此可得概率；
（2）確定隨機(jī)變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）記A：3次摸球中至多摸得1次黑球，則P（A）=

C

1 3

•

1

4

•(

3

4

)2+

C

0 3

•(

3

4

)3=

27

32

；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，則
P（ξ=0）=

C

0 3

•(

3

4

)3=

27

64

；P（ξ=1）=

C

1 3

•

1

4

•(

3

4

)2=

27

64

；
P（ξ=2）=

C

2 3

•(

1

4

)2•(

3

4

)1=

9

64

；P（ξ=3）=

C

3 3

•(

1

4

)3•(

3

4

)0=

1

64

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

點(diǎn)評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．