Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：當(dāng)時(shí)，有

 

Answer 1

【答案】

（1）增區(qū)間：，減區(qū)間：； （2） 

（3）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題的綜合運(yùn)用。

（1）分析定義域，然后求導(dǎo)，然后對于導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零作出討論，得到單調(diào)區(qū)間。

（2）因?yàn)楫?dāng)處取得極值時(shí)，若關(guān)于的方程上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)合函數(shù)圖像來得到不等式。

（3）由（1）、（2）可得，當(dāng)為增函數(shù)

，然后放縮法得到證明。

（1）

        增區(qū)間：     減區(qū)間：……………………3分

（2）   

令

為增函數(shù)，為減函數(shù)，為增函數(shù)……………………5分

則…………………………………………………7分

（3）由（1）、（2）可得，當(dāng)為增函數(shù)

…………………………………………10分

令………………………………12分

則

                                  ………………13分

                                  

                                 

………………………………………………14分