Question

已知f（x）=log_a|x|（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明f（x）為偶函數(shù)；
（3）求使f（x）＞0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義和絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出，
（2）利用偶函數(shù)的定義證明即可，
（3）需要分類(lèi)討論，當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a|x|（a＞0，且a≠1），
∴|x|＞0，
∴x≠0，
∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
（2）證明：∵f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-0∪（0+∞）．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又f（-x）=log_a|-x|=log_a|x|=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＞0，則x＜-1，或x＞1，即x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＞0，則0＜|x|＜1，即x∈（-1，0）∪（0，1）．
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，x的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，偶函數(shù)的判斷，分類(lèi)討論的思想，屬于基礎(chǔ)題．