Question

已知拋物線(xiàn)x²=2y，過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，則y₁+y₂的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：先根據(jù)點(diǎn)P設(shè)直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂=2k，然后，求解得到y(tǒng)₁+y₂=2k²+2，
從而確定其最小值．

解答： 解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，1）的直線(xiàn)方程為：
y=kx+1，
聯(lián)立方程組

y=kx+1 x2=2y

，
整理，得
x²-2kx-1=0，
∴△=4k²+4＞0，
∴x₁+x₂=2k，x₁•x₂=-1，
∵y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2
=2k²+2，
∴當(dāng)k=0時(shí)，y₁+y₂的最小值2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．