10.已知圓C的圓心為(1,2)且與直線2x+y+1=0相切.
(Ⅰ)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l經(jīng)過點(-1,-1)且被圓C截得的弦長為2,求直線l的方程.

分析 (Ⅰ)根據(jù)題意以及點到直線的距離公式求得圓的半徑,從而求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)由 點(-1,-1)在圓內(nèi),且弦長為2<$2\sqrt{5}$,判斷應(yīng)有兩條直線,然后分類討論當(dāng)l斜率存在時和當(dāng)l斜率不存在時,求出直線l的方程即可.

解答 解:(Ⅰ) 圓的半徑為圓心(1,2)到切線2x+y+1=0的距離,
即r=$\frac{|2+2+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$,
∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=5;
(Ⅱ) 點(-1,-1)在圓內(nèi),且弦長為2<$2\sqrt{5}$,∴應(yīng)有兩條直線.
①當(dāng)l斜率存在時,設(shè)l:y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0.
由弦長公式,$2=2\sqrt{{r}^{2}-mqmewjv^{2}}=2\sqrt{5-xgeli0r^{2}}$,得d=2.
∴圓心到直線l的距離$d=\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=2$,解得$k=\frac{5}{12}$,此時l:5x-12y-7=0.
②當(dāng)l斜率不存在時,l:x=-1,也符合題意.
∴直線方程為:5x-12y-7=0或x=-1.

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,點到直線的距離公式的應(yīng)用以及弦長公式,屬于中檔題.

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